Para qué sirve
El máximo común divisor de varios números es el más grande que los divide a todos sin dejar resto. El mínimo común múltiplo es el más pequeño al que llegan todos multiplicándose por algo. Suenan a ejercicio de clase y aparecen constantemente fuera de ella.
El MCD sirve para repartir en partes iguales sin que sobre nada: cuántas bolsas idénticas salen de 12 caramelos y 18 chicles, o hasta dónde se puede simplificar una fracción. El MCM sirve para saber cuándo dos ciclos vuelven a coincidir: dos autobuses que pasan cada 12 y cada 18 minutos, o el denominador que hace falta para sumar dos fracciones.
Aquí salen los dos a la vez, junto con la descomposición en factores primos de cada número, que es lo que explica de dónde vienen. Ver los factores hace la diferencia entre aplicar una receta y entender el resultado.
Cómo se calcula
El método que se enseña es descomponer cada número en factores primos y comparar. Para el MCD se toman los factores comunes elevados al exponente más pequeño; para el MCM, todos los factores, comunes y no comunes, elevados al más grande.
Para calcularlo, sin embargo, se usa el algoritmo de Euclides, que es mucho más rápido y no necesita factorizar: se divide el mayor entre el menor y se repite con el divisor y el resto hasta que el resto es cero. El último divisor no nulo es el MCD.
El MCM se deduce del MCD sin trabajo extra, porque el producto de dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Con más de dos números se encadena de dos en dos.
El orden de las operaciones importa por un motivo práctico: se divide antes de multiplicar. Calcular «a por b, dividido entre el MCD» produce un número intermedio enorme; calcular «a entre el MCD, por b» llega al mismo sitio sin pasar por ahí.
mcd(a, b) · mcm(a, b) = a · bLa relación que permite obtener uno a partir del otro sin volver a empezar.
mcd(a, b) = mcd(b, a mod b)El algoritmo de Euclides: se repite hasta que el resto es cero.
mcm(a, b) = (a / mcd) · bDividir primero mantiene los números pequeños durante el cálculo.
Ejemplo resuelto
12, 18 y 24
- Números
- 12 · 18 · 24
- Se descomponen: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3.
- Factores comunes a los tres: el 2 y el 3. Con el exponente más pequeño de cada uno: 2¹ · 3¹ = 6. Ese es el MCD.
- Todos los factores con el exponente más grande: 2³ · 3² = 72. Ese es el MCM.
- Comprobación del MCD: 12/6 = 2, 18/6 = 3 y 24/6 = 4, sin resto en ningún caso.
- Comprobación del MCM: 72/12 = 6, 72/18 = 4 y 72/24 = 3, también exactas.
MCD = 6 · MCM = 72
Para qué sirve cada uno
La confusión habitual es cuál de los dos toca. La pregunta que lo resuelve es si se está repartiendo o esperando: repartir en grupos iguales es MCD, esperar a que dos ciclos coincidan es MCM.
| Situación | Cuál | Por qué |
|---|---|---|
| Repartir sin que sobre nada | MCD | el grupo más grande posible |
| Simplificar una fracción | MCD | el mayor divisor común |
| Cortar en trozos iguales | MCD | la medida más grande que encaja |
| Sumar fracciones | MCM | el denominador común más pequeño |
| Dos ciclos que se repiten | MCM | cuándo vuelven a coincidir |
| Baldosas cuadradas exactas | MCM | el lado más pequeño posible |
Números primos entre sí
Cuando el máximo común divisor es 1, los números no comparten ningún factor y se dice que son primos entre sí. No hace falta que ninguno sea primo: 8 y 9 no lo son y aun así solo comparten el 1.
En ese caso el mínimo común múltiplo es directamente el producto, porque no hay nada que se pueda ahorrar. Es también la señal de que una fracción ya está simplificada del todo.
El límite de la máquina
Un número de JavaScript representa enteros exactos hasta unos quince dígitos. El máximo común divisor nunca se acerca a ese techo, porque siempre es menor o igual que el más pequeño de los números.
El mínimo común múltiplo sí puede pasarse: con dos primos de nueve cifras, su MCM es el producto y ya no cabe. En ese caso esta herramienta lo dice en lugar de mostrar un número redondeado, porque un múltiplo redondeado ha dejado de ser múltiplo.
Preguntas frecuentes
¿Cuál uso, el MCD o el MCM?
Si vas a repartir algo en grupos iguales y no quieres que sobre, es el MCD. Si estás esperando a que dos cosas que se repiten coincidan, o buscando un denominador común, es el MCM. El primero siempre es menor o igual que tus números y el segundo, mayor o igual.
¿Se puede calcular con más de dos números?
Sí, y es lo habitual en los ejercicios. Se hace por parejas: se calcula el de los dos primeros y ese resultado se combina con el tercero, y así sucesivamente. El orden en que se tomen no cambia el resultado.
¿Qué pasa con el cero?
El cero es múltiplo de todos los números, así que el mínimo común múltiplo con un cero de por medio es cero, lo cual no informa de nada. Por eso esta herramienta solo admite enteros positivos.
¿Por qué se descomponen en factores primos?
Porque cada número entero se escribe de una sola forma como producto de primos, y eso convierte una comparación difícil en una fácil: basta con mirar qué factores comparten y con qué exponente. Para calcularlo se usa Euclides, que es más rápido, pero la descomposición es la que se entiende.
¿Sirve para simplificar fracciones?
Justo para eso. Dividir numerador y denominador entre su máximo común divisor deja la fracción irreducible en un solo paso, en lugar de ir simplificando poco a poco y arriesgarse a dejarla a medias.
¿Guarda los números que escribo?
Aquí no hay nada que guardar ni adónde mandarlo: la operación se resuelve en tu propio navegador en cuanto terminas de teclear, y al cerrar la pestaña no queda rastro.
Fuentes
Toda la información de esta página se refiere a: Calculadora de MCD y MCM.