Para qué sirve
Una calculadora normal convierte las fracciones en decimales antes de operar, y ahí se pierde la exactitud: un tercio no se puede escribir con un número finito de cifras, así que se redondea. Sumar tres tercios en una calculadora puede dar 0,99999999 en lugar de 1.
Aquí no pasa por decimales en ningún momento. Todo se hace con enteros, se simplifica al final y el resultado es exacto: tres tercios son uno, sin discusión y sin cifras arrastradas.
Además convierte en los dos sentidos. De fracción a decimal, marcando el periodo cuando lo hay, y de decimal a fracción, incluido el caso que cuesta a mano: el decimal periódico. A esa fracción se la llama generatriz, y sacarla es un clásico de las matemáticas de secundaria.
Cómo se calcula
Para sumar y restar hace falta un denominador común. Se usa el mínimo común múltiplo de los dos denominadores en lugar de multiplicarlos: se llega al mismo resultado y los números intermedios se quedan mucho más pequeños.
Multiplicar es directo, numerador con numerador y denominador con denominador, pero antes se cancela en cruz. Multiplicar primero y simplificar después funciona igual sobre el papel y en una máquina puede desbordar: con un millón partido por tres, por tres partido por un millón, el resultado es uno y el camino corto ni siquiera llega al billón.
Dividir es multiplicar por la inversa: se le da la vuelta a la segunda fracción y se multiplica. Por eso no se puede dividir entre una fracción que valga cero, porque el cero no tiene inversa.
El paso a decimal se hace por división larga, anotando qué resto aparece en cada posición. Cuando un resto se repite, los dígitos desde aquella posición forman el periodo. Eso demuestra de paso que el periodo siempre es finito y más corto que el denominador: los restos posibles son limitados y en algún momento tienen que repetirse.
a/b + c/d = (a·(m/b) + c·(m/d)) / m- m
- el mínimo común múltiplo de b y d
a/b ÷ c/d = a/b · d/cDividir es multiplicar por la inversa.
generatriz de a,b(c) = (abc − ab) / 9…90…0Tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como decimales no periódicos.
Ejemplo resuelto
La fracción generatriz de 1,2454545…
- Número
- 1,2(45)
- Parte que no se repite
- 1,2
- Periodo
- 45
- Se escribe el número completo sin coma ni paréntesis: 1245.
- Se le resta la parte que no se repite, también sin coma: 1245 − 12 = 1233.
- El denominador lleva tantos nueves como cifras tiene el periodo —dos— y tantos ceros como decimales no periódicos —uno—: 990.
- Queda 1233/990, que se simplifica dividiendo entre 9: 137/110.
- Comprobación: 137 dividido entre 110 da 1,2454545…, que es el número de partida.
137/110
Los tres tipos de decimal
Toda fracción produce uno de estos tres, y cuál sale se sabe de antemano mirando el denominador ya simplificado: si solo tiene factores 2 y 5, el decimal es exacto; si no tiene ninguno de los dos, es periódico puro; si tiene de los dos tipos, es periódico mixto.
| Tipo | Ejemplo | Denominador simplificado |
|---|---|---|
| Exacto | 3/4 = 0,75 | solo factores 2 y 5 |
| Periódico puro | 1/3 = 0,(3) | sin factores 2 ni 5 |
| Periódico mixto | 1/6 = 0,1(6) | mezcla de ambos |
| Entero | 8/4 = 2 | denominador 1 al simplificar |
Por qué 0,(9) es exactamente 1
Aplicando la regla de la generatriz a 0,(9) sale 9/9, que es 1. No es una aproximación ni un truco de la herramienta: es el mismo número escrito de dos formas, igual que 1/2 y 2/4.
Cuesta aceptarlo porque parece que «le falta algo» para llegar a uno. La forma rápida de convencerse es preguntarse qué número habría entre 0,(9) y 1: si fueran distintos tendría que haber alguno, y no lo hay.
El límite de los enteros
El cálculo es exacto mientras el numerador y el denominador quepan en un entero exacto de JavaScript. Por eso se cancela antes de multiplicar y se usa el mínimo común múltiplo al sumar: las dos cosas mantienen los números pequeños.
Cuando aun así el resultado se pasa, la herramienta lo dice en lugar de devolver una fracción redondeada. Una fracción redondeada es lo único que esta herramienta no debería producir nunca.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el resultado sale simplificado?
Porque dos fracciones equivalentes son el mismo número, y la forma irreducible es la única que no admite discusión. Además evita que los términos crezcan al encadenar operaciones: sin simplificar, cuatro sumas seguidas producen números enormes.
¿Qué es la fracción generatriz?
La fracción exacta de la que sale un decimal. Todo decimal exacto o periódico tiene una, y encontrarla es lo que permite volver a operar con exactitud. Los decimales que no se repiten nunca, como pi, no tienen: por eso se llaman irracionales.
¿Cómo escribo un decimal periódico?
Con la parte que se repite entre paréntesis. «0,(3)» es cero coma tres periódico y «1,2(45)» es uno coma dos, cuarenta y cinco periódico, donde el 2 no se repite y el 45 sí. En un cuaderno esa parte se marca con una rayita encima.
¿Puedo operar con números mixtos?
Conviértelos primero a fracción impropia: dos enteros y un tercio son siete tercios, porque 2 · 3 + 1 = 7. El resultado sí se muestra también en forma mixta, por si es como lo necesitas.
¿Por qué no puedo dividir entre cero?
Porque dividir entre algo es multiplicar por su inversa, y el cero no tiene: no hay ningún número que multiplicado por cero dé uno. No es una limitación de la herramienta, es que la operación no existe.
¿Funciona con fracciones negativas?
Sí, y da igual dónde pongas el signo: menos un medio, uno partido de menos dos y menos uno partido de dos son el mismo número. El resultado se muestra siempre con el signo en el numerador y el denominador positivo.
Fuentes
Toda la información de esta página se refiere a: Calculadora de fracciones.